Приставка НИ встречается только в местоимениях. «Неадекватный» — прилагательное, поэтому пишется НЕ. Также слово «адекватный» не имеет ничего общего ни с одеждой, ни с одеколоном, поэтому пишите его через А.

Ниодекватный — неадекватный

Попасть впросак — устойчивое выражение, означающее «попасть в неловкое положение». Наречие «впросак» пишется слитно. А просак — станок для плетения верёвок и канатов. И бедолага, попавший впросак из-за своей неуклюжести, не имеет к нему никакого отношения.

В просак — впросак

Даже когда вам очень грустно, не стоит терять букву Т. Особенно если её так легко найти с помощью проверочного слова «грусть».

Грусно — грусно

«Распространённый» — от слова «пространство». Ни к каким постам оно отношения не имеет.

Распостранённый — распространённый

Тесно связано с правилом определения гласной в суффиксах -ыва, -ова в глаголах. «Проигрыватель» — от слова «проигрывать». Проигрывать — проигрываю, суффикс не меняется, значит, ставим букву Ы.

Проигрователь — проигрыватель

Чтобы узнать, ставить в суффиксе глагола Ы или О, просто поставьте его в первое лицо единственного числа. Если в суффиксе произошла замена -ова на -у, то пишите О. Пример: попробовать — попробую. Если же суффикс не изменился — пишите Ы. Пример: складывать — складываю.

Попробывать — попробовать

Наречия, которые имеют приставку по- и оканчиваются на -ому (-ему), -ки, -ьи пишутся через дефис. Примеры: по-моему, по-братски, по-волчьи. Можно запомнить по схожему значению: по-моему — значит, как я; по-братски — как братья; по-волчьи — как волки.

Помоему — по-моему

В агентстве работают агенты. Этим словом и проверяйте.

Агенство — агентство