Фразеологизм произошёл от слова «ладан» — смолы, при тлении выделяющей дым, который раньше символизировал дыхание умирающего. Ладан использовали в церковном обряде отпевания покойника. Отсюда и выражение «на ладан дышит» — значит, находится на грани смерти.