Слово «экстравагантный» латинского происхождения. В латинском языке есть слово extravagans «выходящий вон, за пределы». Оно, в свою очередь, происходит от extra «вне, снаружи; кроме» + vagari «блуждать, странствовать». Из этого мы можем сделать вывод, что часть ЭКСТРА — это иноязычная приставка. А на конце иноязычных приставок УЛЬТРА и ЭКСТРА по правилам русского языка пишется гласная А. Следует это запомнить и писать слово «экстравагантный» через А.