Как вариант «притом», так и вариант «при том» являются правильными. Разница лишь в значении. Союз «притом» пишется слитно. В предложении он передаёт дополнительную информацию (можно заменить на союз «причём»). Пример: Мы купили клубнику, притом очень вкусную. Указательное местоимение с предлогом «при том» пишется раздельно. К этому местоимению можно задать вопрос. Пример: При том (при каком?) институте открыта большая научная лаборатория.