Эти слова имеют разное значение. Эстетический — относящийся к эстетике (наука о прекрасном) или связанный с восприятием прекрасного. Пример: эстетическое наслаждение, эстетический идеал. Эстетичный — красивый, изящный. Пример: эстетичный интерьер, эстетичная поза.
Наречие «потихоньку» пишется слитно, т. к. образовано от краткого прилагательного с помощью приставки. С приставкой ПО через дефис пишутся наречия с суффиксами -ому/ ему, -ски/ цки и -ьи.
Фраза «панацея от всех болезней» избыточна, т. к. существительное «панацея» само по себе означает «мифическое средство от всех болезней». Её поиском занимались алхимики. Сегодня это слово употребляется образно. Итак, используйте либо только слово «панацея», либо сочетание «средство от всех болезней».
Словосочетание «экспонат выставки» избыточно, т. к. существительное «экспонат» само по себе означает «предмет, который выставлен в музее или на выставке». Поэтому используйте либо только слово «экспонат», либо сочетание «экземпляр выставки».
Словосочетание «местные аборигены» избыточно, т. к. существительное «аборигены» само по себе означает «коренное население страны/ континента». Поэтому используйте либо только слово «абориген», либо сочетание «местный житель».
Словосочетание «мимика лица» избыточно, т. к. существительное «мимика» само по себе означает «выразительные движения мышц лица». Поэтому используйте либо только слово «мимика», либо сочетание «движение мышц лица».
Жестикулировать — делать движении руками, делать жесты. Именно существительное «жест» и будет проверочным словом. Пишите «жестикулировать» через Е.
В корне БЕР/ БИР написание гласной зависит от суффикса А. Если он есть, в корне пишется буква И. Например: забирать. Если суффикса А нет, в корне пишется буква Е. Например: заберу, забери.
Наречие «по-старому» отвечает на вопрос КАК? Наречия с приставкой ПО и суффиксом -ОМУ пишутся через дефис. Пример: А он жил по-старому, ничего не поменялось. Предлог с прилагательным «по старому» пишется раздельно. В таких предложениях предполагается существительное. Пример: Я пошёл по старому пути, чтобы не заблудиться.
Слово «соблазн» образовано из праслав. *blaznъ, от которого в том числе произошло ст.-слав. блазнъ «ошибка». То есть часть СО изначально была приставкой. Приставки СА не существует. Запомните: слово «соблазн» пишется через О.