Форма «извиняюсь» является разговорной. Если у вас нет намерения специально показать особенности чьей-то речи, лучше заменить эту форму на литературный вариант. В литературном языке используется форма повелительного наклонения — «извините». При извинении мы просим человека простить нас. А повелительное наклонение как раз используется в просьбах.