Частица НЕ с деепричастиями пишется раздельно, кроме тех деепричастий, которые образованы от глаголов, не употребляющихся без НЕ. Глагол «класть» к таким не относится, поэтому фразеологизм «не покладая рук» пишется раздельно.

Непокладая рук — не покладая рук

Словосочетание «промышленная индустрия» избыточно, т. к. существительное «индустрия» само по себе является синонимом слова «промышленность». Поэтому используйте либо только слово «индустрия/ промышленность», либо сочетание «промышленная отрасль».

Промышленная индустрия — индустрия

Эти слова имеют разное значение. Эстетический — относящийся к эстетике (наука о прекрасном) или связанный с восприятием прекрасного. Пример: эстетическое наслаждение, эстетический идеал. Эстетичный — красивый, изящный. Пример: эстетичный интерьер, эстетичная поза.

Эстетичный — эстетический

Наречие «потихоньку» пишется слитно, т. к. образовано от краткого прилагательного с помощью приставки. С приставкой ПО через дефис пишутся наречия с суффиксами -ому/ ему, -ски/ цки и -ьи.

По-тихоньку — потихоньку

Фраза «панацея от всех болезней» избыточна, т. к. существительное «панацея» само по себе означает «мифическое средство от всех болезней». Её поиском занимались алхимики. Сегодня это слово употребляется образно. Итак, используйте либо только слово «панацея», либо сочетание «средство от всех болезней».

Панацея от всех болезней — панацея

Словосочетание «экспонат выставки» избыточно, т. к. существительное «экспонат» само по себе означает «предмет, который выставлен в музее или на выставке». Поэтому используйте либо только слово «экспонат», либо сочетание «экземпляр выставки».

Экспонат выставки — экспонат

Словосочетание «местные аборигены» избыточно, т. к. существительное «аборигены» само по себе означает «коренное население страны/ континента». Поэтому используйте либо только слово «абориген», либо сочетание «местный житель».

Местные аборигены — аборигены

Словосочетание «мимика лица» избыточно, т. к. существительное «мимика» само по себе означает «выразительные движения мышц лица». Поэтому используйте либо только слово «мимика», либо сочетание «движение мышц лица».

Мимика лица — мимика

Жестикулировать — делать движении руками, делать жесты. Именно существительное «жест» и будет проверочным словом. Пишите «жестикулировать» через Е.

Жистикулировать — жестикулировать

В корне БЕР/ БИР написание гласной зависит от суффикса А. Если он есть, в корне пишется буква И. Например: забирать. Если суффикса А нет, в корне пишется буква Е. Например: заберу, забери.

Заберать — забирать